Закрыть ... [X]

В системе отсчёта связанной с автобусом

Задачи аналогии.

   Рассмотрим решение следующих задач.
   Задача 1. По прямому шоссе движется автобус со скоростью v1 = 16 м/с. Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии d = 60 м от шоссе и S = 400 м от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью v2 = 4 м/с (рис. 4.1). В каком направлений он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус? При какой наименьшей скорости человека это возможно? В каком направлении следует бежать с такой скоростью?


   Решение.
   Пусть автобус находится в точке A, человек в точке B. Определим, под каким углом β к линии AB может бежать человек (он должен попасть в точку C одновременно с автобусом или раньше его); время движения автобуса t1 = AC/v1, время движения человека t2 = BC/v2 ≤ t1. Отсюда v1/v2. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC: AC/BC = sinβ/sinα и учитывая, что sinα = d/S, получаем: sinβ ≥ v1d/(v2S).
   Тогда arcsin{v1d/(v2S)} ≤ β ≤ 180° – arcsin{v1d/(v2S)}; 37° ≤ β ≤ 143°.
   Хотелось обратить внимание на то, что в этой задаче самым трудным является удачный выбор неизвестной величины β.
   Поскольку sinβ ≥ v1d/(v2S), условием разрешимости задачи является v1d/(v2S ≤ 1 или v2 ≥ v1d/S. Значит,

v2min ≥ v1d/S = 2,4 м/с.


   При такой скорости sinβ = 1, β = 90° – т. е. бежать следует под прямым углом к направлению на автобус (а не к дороге).
   Замечание 1. Интерес, разумеется, представляет только случай когда скорость человека меньше скорости автобуса (v < u), так как при v > u человек может убежать от автобуса на любое расстояние.
   Замечание 2. Перейдем в систему отсчета, в которой автобус покоится. Эта система отсчета движется относительно земли в левую сторону со скоростью автобуса v1. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость v1, направленную влево (рис. 4.2).

Вектор полной скорости человека в новой системе отсчета v равен векторной сумме v1 и скорости человека относительно земли v2.
   Эта задача эквивалентна задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчета автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно в системе отсчёта связанной с автобусом требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора определяется таким же построением (см. задачу о сносе лодки). Траектория человека в системе отсчета, где автобус неподвижен, – это прямая AB. Траектория же в системе отсчета, связанной с землей, – прямая BC. Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом α к нему, причем sinα = v2/v1.
   Замечание 3. Воспользуемся аналогией с «движением» светового луча (принцип Ферма). Тогда угол β определяется как предельный угол полного отражения (рис. 4.3):

sinβ/sin90° = n2/n1 = (c/v1)/(c/v2) = v2/v1,


откуда следует, что β = arcsin(v2/v1).

   Задача 2. Два тела одновременно начинают движение из точки, удаленной на 1 м от стенки: первое – от стенки под углом 30° к ней, второе – к стенке под углом падения 30° и после упругого отражения сталкивается с первым. Какой путь пройдет первое тело до удара со вторым, если его скорость в √3 раз меньше скорости второго тела?

   Решение 1. Геометрическое решение задачи (рис. 4.4).


Угол между векторами скоростей равен 90° (α + (90° – α) = 90°). Расстояние пройденное вторым телом до удара ос стенку равно S1 = l/cosα. Тогда отношение катетов L/S1 = tg2α (угол падения равен углу отражения).

L = S1tg2α.


Или

L = (l/cos&lapha;)•tg2α = (1/cos30° •tg(2•30°)) = 2.


Следовательно, путь первого тела до удара со вторым равен 2 м.

   Решение 2. Время движения тел до встречи будет одинаковым.

t = L/v1, t1 = l/(v2cosα) и t2 = √{L2 + (l/cosα)2}/v2.


   Сумма времени движения второго тела t1 + t2 = t равно времени движения первого тела.

l/(v2cosα) + √{L2 + (l/cosα)2}/v2 = L/v1.


   По условию задачи v2/v1 = √3, тогда

l/(v2cosα) + √{L2 + (l/cosα)2}/v2 = √3L/v2.


и

l/cosα + √{L2 + (l/cosα)2} = √3L.


   Осталось решить последнее уравнение относительно искомого расстояния L.

L2 + (l/cosα)2 = 3L2 – 2lL√3/cosα + (l/cosα)2 L = l√3/cosα = 2 м.


   Решение оказалось более длинное, но привело, все же, к желаемому результату.

   Решение 3. Воспользуемся «методом зеркальных отражений» (рис. 4.5).


Движение точки из A в C и B, аналогично движению этой же точки и A/B по прямой. Угол между прямой A/B и A/A равен α. Воспользуемся теоремой косинусов для ΔAA/B.
(AB)2 = (A/B)2 + (2l)2 – 2A/B•2l•cosα. (1)
   По условию задачи v2/v1 = √3, а, значит и v2t/v1t = A/B/AB = √3 или A/B = √3AB. С учетом этого (1)
(AB)2 = (AB√3)2 + (2l)2 – 2AB•√3•2l•cosα.


   После упрощения (AB = L) имеем L2 – 3Ll + 2l2 = 0. Решая квадратное уравнение, находим корни L1 = 2 м и L2 = 1 м. По смыслу задачи выбираем корень L1 = 2 м, а L2 = 1 м не подходит по смыслу задачи (интересно почему?).

   Решение 4. «Находясь» в точке A/ изменим систему отсчета, связав ее с первым телом «остановив» его. Тогда к остановленному телу будет приближаться второе тело с относительной скоростью

vom = √{v1√3 + v12 + 2v1•v1√3•cos(90o + α)}.


   И пройдет расстояние 2l за время: t = 2l/vom. За это время первое тело удалится (в системе отсчета связанной с землей) на расстояние

2v1l/vom = 2l/√{v1√3 + v12 + 2v1•v1√3•cos(90o + α)} = 2 (м).

Задав вопрос учащимся − какой предмет, на ваш взгляд является самым сложным в школе, в 95 случаях из 100 получаем ответ − физика. Мало понять, предложенный метод, надо самостоятельно прорешать разобранные задачи, далее решить задачи для самостоятельной работы. После этого надо объяснить их своему товарищу. Когда объясняете, Вы учите не своего товарища, а самого себя. Ниже Вам предлагаются задачи для самостоятельной работы. Обязательно добивайтесь конечного результата.

Для закрепления материала решите задачи.
1. Автомобиль, находящийся на расстоянии l от длинной бетонной стены и движущейся от нее со скоростью v так, как показано на рисунке, посылает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до встречи с отраженным сигналом? Скорость звука u. [x = 2lv(vsinα + {u2 − v2coa2α})/(u2 − v2)]


   2. Человек находится на берегу озера в точке A и хочет в кратчайшее время попасть в точку B, находящуюся на озере. Скорость движения человека в воде v1, а по берегу v2. По какой траектории следует двигаться человеку, если v2 > v1? [Бежать по суше расстояние S − x, не добежав до точки C расстояние x = dv1/√{v22 − v12}, и, далее − по воде]

   3. Два человека стоят на расстоянии h1 и h2 от стенки и l − друг от друга. Один из них сказал слово, другой услышал конец слова, совпавшее с началом эха этого же слова. Скорость звука c. Определите длительность звучания слова. [t = (√{l2 + 4h1h2} − l)/c] Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.

Источник: http://fizportal.ru/practica/4


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Решение 4. «Находясь» в точке A/ изменим систему отсчета, связав ее Повязочки ручной работы

В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом В системе отсчёта связанной с автобусом

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ